Cilji in kompetence
Cilji:
Temeljito spoznati osnove NDE v prostoru in Besselove NDE in PDE s poudarkom na valovni in toplotni enačbi. Povezati integralske transformacije z DE
Kompetence:
Osvojiti spretnosti matematičnega modeliranja inženirskih problemov, ki se navezujejo na DE in povezati DE s fiziko in mehaniko. Simuliranje D'Alembertove rešitve v programu Matlab.
Vsebina
NDE:
Sistemi NDE. Linearni avtonomni sistem s singularnimi točkami. Matrična reprezentacija in rešitev z lastnimi vrednostmi ter lastnimi in korenskimi vektorji. Teorija stabilnosti singularne točke. Linearizacija nelinearnega sistema.
Reševanje enačb z neanalitično zunanjo funkcijo.
Posebni tipi NDE 2.reda z ne-konstantnimi koeficienti, reševanje z vrsto in Besselove enačbe ter funkcije.
Integralske transformacije: Laplaceova transformacija. osnovne lastnosti, transformiranka periodične funkcije iz prostora L2, formula zamika, konvolucija, parcialni ulomki in inverzna transformacija, transformiranka Heavisideove funkcije in Diracove delte, Fourierova transformacija in njen inverz za končni primer.
Uporaba integralskih transformacij pri reševanju linearnih NDE in PDE
Fourierova analiza:
Aproksimacija periodične funkcije s Fourierovo vrsto, prehod na poljubno periodo, sode in lihe razširitve. Uporaba pri NDE in PDE.
PDE:
Splošna in posebna rešitev, Valovna in difuzijska enačba
Dirichletov problem in (ne)homogeni pogoji , Laplaceova enačba, reševanje s separacijo.
Reševanje z Laplaceovo in Fourierovo transformacijo.
Klasifikacija PDE 2.reda: eliptične, hiperbolične in parabolične enačbe.
Nihanje pravokotne plošče.
Metode poučevanja in učenja
Predavanja (klasična in računalniške animacije za ponazarjanje vloge parametrov v posameznih matematičnih modelih). Domače naloge (pogoj za pristop k izpitu).
Predvideni študijski rezultati - znanje in razumevanje
Ko študent bo po končanem predmetu:
1. Pravilno rešil in analiziral stabilnost izhodišča za linearne sisteme NDE. V okolici hiperbolične singularnosti bo nelinearni sistem NDE pravilno To lineariziral.
2. Uporabil bo primeren nastavek in z vrsto rešil NDE 2.reda z nekonstantnimi koeficienti. Prepoznal bo posplošeno Besselovo DE in jo rešil
3. Aproksimiral bo poljubno periodično funkcijo iz razreda L2[a,b]. Poljubno odsekoma zvezno omejeno funkcijo bo periodično razširil in analiziral po Fourieru.
4. Pravilno bo rešil valovno in toplotno enačbo pri različnih robnih in začetnih pogojih
5. Instaliral si bo Matlab in simuliral D'Alembertovo rešitev
6. Ločil bo med splošno in partikularno rešitvijo PDE ter uporabil separacijo spremenljivk
7. Klasificiral bo PDE 2.reda.
8. Uporabil bo Laplaceovo in Fourierovo transformacijo pri reševanju NDE in PDE
Uporabil Laplaceovo transformacijo in Diracovo delto za modeliranje DE upogiba z neanalitično zunanjo funkcijo
Predvideni študijski rezultati - Prenosljive/ključne spretnosti in drugi atributi
Znanje in uporaba osnovnih matematičnih orodij, ki so nujna pri strokovnih predmetih
Temeljni literatura in viri
Osnovna/basic
- Mencinger, M. (2011). Uvod v parcialne diferencialne enačbe (1. izd., str. IX, 203). Fakulteta za gradbeništvo. (https://plus.cobiss.net/cobiss/si/sl/bib/67803905)
- Kreyszig, E. (2011). Advanced engineering mathematics (10th ed., str. XXI, 1113 , 139 pril.). J. Wiley & Sons. (https://plus.cobiss.net/cobiss/si/sl/bib/9241428)
Dodatna/Additional
- Tomšič, G., & Slivnik, T. (2004). Matematika IV (3. dopolnjena izd., str. VIII, 187). Fakulteta za elektrotehniko. (https://plus.cobiss.net/cobiss/si/sl/bib/216357632)
- Polking, J. C., Boggess, A., & Arnold, D. (2006). Differential equations with boundary value problems (2nd ed., str. XIV, 703, 48). Pearson/Prentice Hall. (https://plus.cobiss.net/cobiss/si/sl/bib/55831553)
- DuChateau, P., & Zachmann, D. W. (1986). Schaum’s outline of theory and problems of partial differential equations (str. 241). McGraw-Hill. (https://plus.cobiss.net/cobiss/si/sl/bib/30861313)
Pogoji za vključitev v delo oz. za opravljanje študijskih obveznosti
Priporočena je obnovitev znanja iz:
Linearne algebre (vektorski prostori in matrična algebra), analize funkcij ene in več spremenljivk (enojni, dvojni in trojni integrali in integrali v prostoru ter uporaba, navadnih in parcialnih odvodov ter vektorske analize (krivulje v prostoru), vektorska polja (rotor, divergenca in gradient). Reševanje linearnih NDE s konstantnimi koeficienti.
